Στα 1500-κάτι, κάποιος Μπολονιέζος, ονόματι Μπομπέλλι, βάλθηκε να λύσει την κυβική εξίσωση χρησιμοποιώντας ριζικά, με τον τύπο .
Κόλλησε όμως: Πόσο κάνει αυτό το ;
Ούτε κάνει, ούτε , γιατί και και κάνει , όχι .
Ξεκόλλησε τελικά με την φανταστική έμπνευση να ορίσει την φανταστική μονάδα, το . Τολμηρά, δήλωσε και, ώ! του θαύματος, το βγήκε ίσο με , που είναι λύση της κυβικής εξίσωσης. Πράγματι, .
Τώρα, τι μύγα τσίμπησε τον τύπο (τον Μπομπέλλι) να λύσει την εξίσωση, άλλου παπά ευαγγέλιο. Η ουσία είναι πως οι μιγαδικοί αριθμοί, αυτοί με την φανταστική μονάδα, βρίσκουν πραγματικές λύσεις σε δύσκολα προβλήματα – αρκεί να χρησιμοποιούνται ενδιαμέσως και με συνέπεια.
Και ρωτάω, μήπως η ουσία μιάς Ανώτερης Μονάδας, φανταστικής ή πραγματικής, είναι θέμα ενδιάμεσης επίκλησης με συνέπεια;
Επιμύθιο: Νομίζω πως ο κ. Φωτιάς θα απαντούσε καταφατικά.
Και γιατί να μην υπάρχουν μιγαδικές λέξεις που να λύνουν και τα άλλα δύσκολα προβλήματα; Η μήπως υπάρχουν και δεν το έοχουμε αντιληφθεί; Να τώρα μου ήρθε στο μυαλό μία, ο «έρωτας» : έχει ένα φανταστικό μέρος και ένα πραγματικό.
Ναι, τώρα που το λες Βασίλη, μου ήρθε το απόφθεγμα του Σόμερσετ Μώμ «Love is only a dirty trick played on us to achieve continuation of the species». Προτιμώ το φανταστικό μέρος, αλλά η πραγματικότητα υπεισέρχεται παντού!
Φανταστικό το … ριζίτικο!
Μου θυμίσατε έναν μαθηματικό μου στο Γυμνάσιο που μας έλεγε ότι αν καταφέρουμε και απλοποιήσουμε την μεγάλη παράσταση του σύμπαντος το αποτέλεσμα θα είναι 1, η Ανώτερη Μονάδα. Και έσκυβε στο αυτί μου και μου έλεγε:
-Εσύ είμαι σίγουρος, πως θα βρεις μηδέν.
-Γιατί, κύριε καθηγητά, με θεωρείτε άθεο ή διάβολο, απάντησα εγώ ενοχλημένος τη δεύτερη φορά που επαναλήφτηκε ο διάλογος και είχα σκεφτεί την απάντηση μου.
-Καλή σκέψη, …μην ανησυχείς όμως, έτσι και αλλιώς τα μαθηματικά θα σώσουν τον κόσμο, και έκλεινε το διάλογο με ένα χαμόγελο.
Μερικά χρόνια αργότερα διάβασα στον Ντοστογιέφσκι ότι η ομορφιά θα σώσει τον κόσμο. Κατάλαβα ότι ο καθηγητής μου, έλεγε το ίδιο.
Ενδιαφέρον του Ντοστογιέφσκι! Σε ποιο έργο του είναι;
Επ’ ευκαιρία, για το 0 και το 1, απολαυστικό είναι και το Logicomix.
Η φράση είναι από τον «Ηλίθιο».
Η λύση του Μπομπέλλι προϋποθέτει ότι με κάποιον τρόπο θα μπορέσει να υπολογίσει ο λύτης την κυβική ρίζα του 2±11i. Βεβαίως, όποιος έχει μαντικές ικανότητες θα διαβλέψει ότι είναι 2±i — αλλά στη γενική περίπτωση, άμα δοκιμάσει κανείς να βρει αλγεβρικά την κυβική ρίζα του a+bi, οδηγείται ξανά στην τριτοβάθμια εξίσωση που είχε αρχικά να λύσει!
Σωστή η παρατήρηση, και πριν αναφέρω την σχεδόν μαντική έμπνευση του Μπομπέλλι, να πω οτι ήθελα περισσότερο να επικεντρωθώ στο τι κάνουν αυτές οι μέθοδοι (δηλαδή οτι ξεκινούν και καταλήγουν σε πραγματικές ποσότητες περνώντας από φανταστικές), και όχι τόσο στο πώς δουλεύουν (ιδέα του Νόρμπερτ Βίνερ αυτή για το πώς να εξηγήσεις κάτι). Υπάρχουν εξάλλου αρκετές πηγές με λεπτομέρειες, π.χ. Paul J. Nahin, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998.
Αν λοιπόν η κυβική ρίζα του 2+11i είναι a+bi, τότε
(a+bi)^3 = 2+11i ==>
a(a^2 – 3b^2) + b(3a^2 – b^2)i = 2+11i
που συνεπάγεται
a(a^2 – 3b^2) = 2
b(3a^2 – b^2) = 11
Έμπνευση: Επειδή 2 και 11 είναι πρώτοι αριθμοί, μια ιδέα είναι να είναι a = 1 ή b = 1. Ώ του θαύματος b = 1 συνεπάγεται a = 2 κλπ.